Concours ENSCK 2019 - Mathématiques

Mathématiques

Question 1

On considère la suite numérique $(u_n)_n$ définie par : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n (1 + u_n)$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$

A) $(\forall n \in \mathbb{N})$, $u_n < 1$B) $(u_n)_n$ est décroissanteC) $u_{n+1} \geq 2u_n, (\forall n \in \mathbb{N})$D) $(\forall n \in \mathbb{N})$, $u_n^2 < u_n$

Question 2

Pour la suite $(u_n)_n$ définie précédemment

A) $(\forall n \in \mathbb{N})$, $u_n < 2^n$B) $(\forall n \in \mathbb{N})$, $u_n \geq 2^n$C) $\lim_{n \to \infty} u_n = 1$D) $\lim_{n \to \infty} u_n = 2$

Question 3

Soient les nombres complexes : $a = (\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{3} + 1)i$ et $u = \frac{a}{2 + 2i}$

A) $\arg(a^2) = \frac{5\pi}{6}[2\pi]$B) $|a^2| = 4$C) $\arg(a) = \frac{5\pi}{3}[2\pi]$D) $|a| = 2$

Question 4

Pour le nombre complexe $u$ défini précédemment

A) $u^2 = e^{\frac{i5\pi}{6}}$B) $\arg(u) = -\frac{5\pi}{6}[2\pi]$C) $u = e^{\frac{i\pi}{6}}$D) $|u| = 4$

Question 5

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes tels que $z = \sqrt{3} - i$ et $z' = (1 + i)z$

A) $z' = (\sqrt{3} - 1) + i(\sqrt{3} + 1)$B) $z = 2e^{i\frac{5\pi}{6}}$C) $z' = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\right)$D) $\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$

Question 6

On lance 6 fois de suite une même pièce de monnaie. On considère l'événement A : « Obtenir exactement trois fois face »

A) $\frac{5}{8}$B) $\frac{1}{2}$C) $\frac{1}{32}$D) $\frac{5}{16}$

Question 7

Une boite contient 10 boules : 4 blanches, 3 rouges et 3 vertes (Toutes les boules sont indiscernables au toucher). Le tirage d'une boule blanche rapporte 5 points, celui d'une boule rouge 2 points tandis que celui d'une boule verte coûte 1 point (On perd un point). On tire simultanément au hasard 2 boules et on note X la variable aléatoire qui correspond au nombre total de points obtenus.

A) $p(X = 7) = \frac{1}{15}$B) $p(X = 4) = \frac{1}{15}$C) $p(X < 0) = \frac{1}{15}$D) $p(X \geq 1) = \frac{4}{15}$

Question 8

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$, définie sur $]0; +\infty[$ par :
$f(x) = X + 1 + \frac{ln x}{x^2}$
et soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$. Soit $(D)$ la droite d’équation :
$y = x + 1.$

A) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$B) $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$C) $f'(x) = \frac{x^3 + 1 + 2\ln x}{x^3}$D) La droite $(\Delta)$ d'équation $y = x + 1$ est une asymptote de $(C_f)$ en $+\infty$

Question 9

Soit $g$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $]-\infty; -1[ \cup ]1; +\infty[$ par $g(x) = x + \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$

A) $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$B) $\lim_{x \to 1} g(x) = +\infty$C) $g$ est paireD) L'équation $g'(x) = 0$ admet une seule solution

Question 10

Cocher la bonne réponse

A) $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-x)}{x} = 1$B) $\lim_{x \to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$C) $\lim_{x \to 0} e^{-\frac{1}{x^2}} = +\infty$D) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1}{x} = 1$

Question 11

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = (x+1)e^{-2x}$

A) Pour tout $x$ de $\mathbb{R}$, $f'(x) = (x+2)e^{-2x}$B) $f$ est décroissante sur $]-\infty, \frac{1}{2}[$C) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$D) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$

Question 12

Cocher la bonne réponse

A) $\int_1^2 \frac{1}{t^2} dt = \ln 4$B) $\int_0^1 \frac{1}{t+1} dt = \frac{1}{2}$C) $\int_0^\pi \cos t dt = -2$D) $\int_0^\pi t \sin t dt = -2$

Question 13

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie pour tout $n$ appartenant à $\mathbb{N}^*$ par : $u_n = \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)$
On pose pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :
$v_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$

A) $\forall n \in \mathbb{N}^*, u_n > 0$B) $u_{n+1} - u_n = \ln\left(\frac{(n+2)}{(n+1)^2}\right)$C) $\forall n \in \mathbb{N}^*, v_n = \ln(n+2)$D) $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

Question 14

Soit $(u_n)_n$ la suite numérique définie par : $u_0 > 0$ et $u_{n+1} = u_n e^{-u_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$

A) $(u_n)_n$ est une suite géométriqueB) $(\forall n \in \mathbb{N}), u_n < 0$C) $(u_n)_n$ est une suite croissanteD) $(\forall n \in \mathbb{N}) \frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1$

Concours d'accès en 1ère année du cycle préparatoire ENSCK - 2019

Épreuve : Mathématiques

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